Alors que les fonctions élémentaires comme $\sin x$ et $e^x$ satisfont des équations différentielles simples, de nombreuses phénomènes physiques — tels que la distribution de chaleur ou les états quantiques — sont régi par des équations qui n'admettent pas de solution « fermée ». Cette diapositive introduit la série de Taylor comme pont fondamental, permettant de représenter des solutions inconnues sous forme de séries infinies.
En supposant qu'une solution est analytique en un point, nous transformons le problème de résolution d'une équation différentielle en un problème de détermination d'une suite de coefficients numériques.
1. La fondation de l'analyticité
Une fonction $f$ ayant un développement en série de Taylor autour de $x = x_0$ avec un rayon de convergence $\rho > 0$ est dite analytique en $x = x_0$. Cette propriété constitue une condition préalable à la recherche de solutions en série pour les équations différentielles ordinaires. Si les fonctions coefficients de notre EDO sont analytiques en $x_0$, alors la solution $y(x)$ est garantie d'être analytique en ce point également.
2. Représentation par série de Taylor
La série $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ est appelée la série de Taylor de la fonction $f$ autour de $x = x_0$. Ici, les coefficients sont définis par :
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
Cela relie le comportement global de la fonction à ses dérivées locales en un seul point.
3. Convergence et validité
Une solution en série ne possède de sens que dans son rayon de convergence. Par exemple, bien que la fonction exponentielle $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x$ ($\rho = \infty$), d'autres séries issues d'équations différentielles peuvent converger uniquement à une certaine distance du point d'expansion $x_0$. Cette distance est généralement déterminée par les singularités (où les coefficients de l'équation cessent de fonctionner) de l'équation.
Considérons l'équation différentielle $y' = y$ avec la condition initiale $y(0)=1$. Au lieu de deviner la solution, nous supposons une forme en série entière :
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
En dérivant, on obtient $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$. En substituant dans $y'=y$ :
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
En alignant les indices, on trouve $(n+1)a_{n+1} = a_n$, ce qui implique $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$. Puisque $y(0)=1$, on a $a_0=1$. Le résultat est la série de Taylor de $e^x$.